☆ e

On sait que la suite \(\left(u_{n}\right)\)  définie sur \(\mathbb N^*\)  par \(u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}\)  est convergente. L'objectif est de démontrer que cette suite tend vers \(\text e\) .

Soit \(n\in\mathbb{N}^{*}\) . On pose `f`  la fonction définie sur `[0;1]`  par \(f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^{k}}{k!}\text e^{-x}\) .

1. a. Calculer `f(0)` .
    b. Exprimer \(f(1)\)  en fonction de `u_n` .

2. a. Démontrer que `f`  est strictement décroissante sur \(\left[0\ ;\ 1\right]\) .
    b. En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) , \(u_n<\text e\) .

3. Soit `g`  la fonction définie sur \(\left[0\ ;\ 1\right]\)  par \(g(x)=f(x)+\dfrac{x}{n!}\) .
    a. Démontrer que \(g\)  est strictement croissante sur \(\left[0\ ;\ 1\right]\) .
    b. En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) , \(u_n>\left(1-\dfrac{1}{n!}\right)\text e\) .

4. En déduire la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) .

Remarque
On dit que la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant 0}\dfrac{1}{k!}\)  est convergente et on écrit : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}=\text e\) .